몬티홀 문제 ( Bayes' Rule)

몬티홀 문제란 ?

당신이 세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가한다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 당신이 예를 들어 1번 문을 선택했다.

몬티홀은 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 당신이 자동차를 가지려할 때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?

 

정답은 바꾸는 것이 유리하다!

 

최근 핫한 드라마 D.P에서도 나오고 몇 년전 문제적 남자에서도 나온 문제이다

 

 

영상처럼 하나하나 경우를 나눠서 생각을 하면 쉽게 풀 수 있다.

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Bayes' Rule로 문제 풀기

위와 같이 해결 할 수 있지만 공대스럽게 확통에서 배우는 Bayes' Rule을 사용해서 풀어보자

 

 

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Bayes' Rule이란?

베이즈 정리의 공식은 아래와 같다

A = 이벤트

B = 또 다른 사건

P(A|B) = 사후확률(posterior) = 다른 이벤트가 발생하는 경우 이벤트가 발생할 확률.

P(A) = 사전확률(prior) = 다른 이벤트가 발생했는지 알기 전에 이벤트가 발생할 확률.

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문제를 풀기위해서 출연자가 1번문을 선택했다고 가정을 하고 문제를 풀어보면

먼저 일어날 수 있는 사건들과 그 확률은 다음과 같다.

 

자동차가 1번문에 있을 확률 $P[C1] = \frac{1}{3}$

자동차가 2번문에 있을 확률 $P[C2] = \frac{1}{3}$

자동차가 3번문에 있을 확률 $P[C3] = \frac{1}{3}$

 

진행자가 1번문을 열 확률 $P[O1] = 0$

진행자가 2번문을 열 확률 $P[O2] = \frac{1}{2}$

진행자가 3번문을 열 확률 $P[O3] = \frac{1}{2}$

 

이제 진행자가 2번문을 열어줬다고 가정을 하고 확률을 구해보면

우리가 알고 싶은 확률은 차를 얻을 확률이므로

1. 선택을 바꾸지 않고 차를 얻을 경우

진행자가 2번문을 열어 염소를 보여줬을 때, 참가자가 고른 1번문에 자동차가 있을 확률은 $P[C1|O2]$ 이다.

$P[C1|O2] = P[O2|C1]P[C1]/P[O2] = \frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} $

2. 선택을 바꿔(3번문 선택) 차를 얻을 경우

이번에는 $P[C3|O2]$ 를 구해야 하는 상황이다.

진행자는 차가 어디 있는지 알고 있으므로 무조건 2번문을 열게 되므로 $P[O2|C3] = 1$

$P[C3|O2] = P[O2|C3]P[C3]/P[O2] = \frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} $

 

결과적으로 바꾸지 않을 때의 확률은 1/3 선택을 바꿨을 경우 확률은 2/3으로 선택을 바꾸는 것이 더 유리하다고 볼 수 있다.